La méthode de Cramer cégep : matrices et déterminants expliqués
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Appelez : +1-514-588-7682En bref : la méthode de Cramer cégep
- Une matrice est un tableau de nombres organisé en lignes et en colonnes, sur lequel on définit l’addition, la multiplication par un scalaire et la multiplication matricielle
- Un déterminant est un seul nombre calculé à partir d’une matrice carrée, qui indique entre autres si le système associé a une solution unique
- La méthode de Cramer cégep utilise des rapports de déterminants pour trouver directement chaque variable d’un système d’équations linéaires, sans substitution ni élimination
- Elle ne fonctionne que si le déterminant du système n’est pas nul — sinon le système n’a pas de solution unique
La méthode de Cramer cégep permet de résoudre un système d’équations linéaires en calculant uniquement des déterminants, sans isoler les variables une à une comme en substitution ou en élimination. Ce guide explique les opérations de base sur les matrices, le calcul d’un déterminant 2×2 et 3×3, puis un système complet résolu étape par étape avec Cramer.
Qu’est-ce qu’une matrice et comment l’utiliser ?
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, organisé en lignes et en colonnes — par exemple une matrice 2×2 a 2 lignes et 2 colonnes. Trois opérations de base s’appliquent aux matrices : l’addition (on additionne les éléments à la même position), la multiplication par un scalaire (on multiplie chaque élément par le même nombre), et la multiplication matricielle (chaque élément du résultat est la somme des produits d’une ligne de la première matrice par une colonne de la seconde).
| Opération | Exemple avec A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] | Résultat |
|---|---|---|
| A + B | On additionne chaque paire d’éléments à la même position | [[6,8],[10,12]] |
| 2A | On multiplie chaque élément de A par 2 | [[2,4],[6,8]] |
| A × B | Ligne de A fois colonne de B, terme à terme, puis on additionne | [[19,22],[43,50]] |
Comment calculer un déterminant 2×2 et 3×3 ?
Le déterminant d’une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] se calcule avec la formule ad − bc : par exemple, pour [[2,3],[5,−1]], le déterminant vaut (2)(−1) − (3)(5) = −2 − 15 = −17. Pour une matrice 3×3, on développe généralement selon la première ligne, en alternant les signes (+, −, +) et en multipliant chaque élément par le déterminant 2×2 qui reste une fois sa ligne et sa colonne retirées : pour [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]], le calcul donne 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5) = 1(−24) − 2(−20) + 3(−5) = −24 + 40 − 15 = 1.
Astuce : pour une 3×3, la règle de Sarrus (recopier les deux premières colonnes à droite et additionner les diagonales) donne le même résultat plus rapidement, mais seulement pour les matrices 3×3 — elle ne fonctionne pas pour une 4×4 ou plus.
Déterminant de [[2,3],[5,-1]] : produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante.
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Comment résoudre un système avec la méthode de Cramer cégep ?
La méthode de Cramer cégep remplace, une colonne à la fois, les coefficients d’une variable par la colonne des termes constants, puis divise ce nouveau déterminant par le déterminant original du système. Pour le système 2x + 3y = 8 et 5x − y = 3 : le déterminant du système est D = |2 3; 5 −1| = −17 (calculé ci-dessus). Pour x, on remplace la première colonne par les constantes : Dx = |8 3; 3 −1| = (8)(−1) − (3)(3) = −8 − 9 = −17, donc x = Dx / D = −17 / −17 = 1. Pour y, on remplace la deuxième colonne : Dy = |2 8; 5 3| = (2)(3) − (8)(5) = 6 − 40 = −34, donc y = Dy / D = −34 / −17 = 2.
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Déterminant du système D | (2)(-1) – (3)(5) | -17 |
| Dx (colonne x remplacée) | (8)(-1) – (3)(3) | -17 |
| Dy (colonne y remplacée) | (2)(3) – (8)(5) | -34 |
| Solution | x = Dx/D, y = Dy/D | x = 1, y = 2 |
Vérification : 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8 ✓ et 5(1) − 2 = 5 − 2 = 3 ✓ — les deux équations sont satisfaites.
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Que se passe-t-il si le déterminant du système est nul ?
Un déterminant nul signifie que la méthode de Cramer cégep ne peut pas être utilisée telle quelle, parce que la division par D = 0 n’est pas définie — le système n’a alors soit aucune solution, soit une infinité de solutions, selon les équations en jeu. Notre guide sur les vecteurs, droites et plans dans l’espace couvre l’autre grand bloc du cours d’algèbre linéaire — le produit vectoriel utilise d’ailleurs le même type de calcul de déterminant.
⚠️ L’ordre exact des chapitres varie selon le cégep
Ce guide suit le contenu standard du cours d’algèbre linéaire et géométrie vectorielle (201-NYC) offert dans les cégeps québécois. Le plan de cours exact, la pondération et l’ordre de présentation varient d’un établissement à l’autre — confirmez toujours la matière exacte couverte avec votre enseignant avant un examen.
❓ Questions fréquentes
Q1 : Qu’est-ce qu’un déterminant en algèbre linéaire ?
R : Un déterminant est un nombre unique calculé à partir d’une matrice carrée. Il indique notamment si un système d’équations linéaires associé a une solution unique (déterminant non nul) ou non (déterminant nul).
Q2 : Comment calculer le déterminant d’une matrice 2×2 ?
R : Pour une matrice [[a,b],[c,d]], le déterminant est ad – bc : on multiplie les éléments de la diagonale descendante, puis on soustrait le produit de la diagonale montante.
Q3 : Quand la méthode de Cramer cégep ne fonctionne-t-elle pas ?
R : Quand le déterminant du système est nul, la division nécessaire pour trouver chaque variable n’est pas définie, et le système n’a pas de solution unique.
Q4 : La méthode de Cramer est-elle plus rapide que la substitution ?
R : Pour un système de 2 ou 3 équations, la méthode de Cramer est souvent plus rapide une fois les déterminants maîtrisés, parce qu’elle évite d’isoler une variable puis de la substituer partout ailleurs.
Q5 : Comment multiplier deux matrices ?
R : Chaque élément du résultat est la somme des produits terme à terme d’une ligne de la première matrice avec une colonne de la seconde matrice. Le nombre de colonnes de la première matrice doit égaler le nombre de lignes de la seconde.
Q6 : Un tuteur en ligne peut-il aider avec les matrices et la méthode de Cramer ?
R : Oui, un tuteur en ligne peut reprendre chaque étape du calcul d’un déterminant et d’un système avec l’élève jusqu’à ce que la logique, pas seulement la mécanique, soit bien comprise.
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Conclusion
La méthode de Cramer cégep transforme la résolution d’un système d’équations linéaires en un calcul de déterminants : une fois le déterminant du système et les déterminants modifiés calculés, chaque variable s’obtient par une simple division.
À retenir :
- ✅ Le déterminant d’une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] est ad – bc
- ✅ Pour Cramer, on remplace une colonne à la fois par les termes constants
- ✅ Chaque variable = son déterminant modifié divisé par le déterminant du système
- ✅ La méthode échoue si le déterminant du système est nul
Le cours 201-NYC se suit souvent en parallèle avec le calcul intégral (201-NYB) — voir aussi notre guide sur l’intégrale définie et le théorème fondamental du calcul.
Pour une vue d’ensemble du reste du programme d’algèbre linéaire et de calcul au cégep, notre page tutorat cégep 2 détaille l’accompagnement offert en ligne.
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