Fonctions et réciproques secondaire 3 : le guide complet

Une fonction est une relation où chaque valeur de x correspond à exactement une seule valeur de y, et sa réciproque s’obtient en inversant les rôles de x et de y — ce qui donne un graphique symétrique au premier par rapport à la droite y = x. Ce guide explique comment reconnaître une fonction, comment trouver sa réciproque, et les deux nouveaux types de fonctions vus au secondaire 3 : la fonction polynomiale de degré 0 ou 1, et la fonction de variation inverse.

Fonctions et réciproques secondaire 3 : comment reconnaître une fonction ?

Une relation est une fonction seulement si chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y — jamais deux ou plus. Sur un graphique, cela se vérifie avec le test de la droite verticale : si une droite verticale tracée n’importe où sur le graphique touche la courbe en plus d’un point, la relation n’est pas une fonction. Un cercle, par exemple, échoue ce test (une droite verticale le traverse en deux points), mais une droite non verticale le réussit toujours.

Comment trouver la réciproque d’une fonction ?

La réciproque d’une fonction s’obtient en inversant les rôles de x et de y : chaque point (x, y) de la fonction originale devient le point (y, x) de sa réciproque. Graphiquement, cela revient à refléter la courbe par rapport à la droite y = x. La réciproque d’une fonction n’est pas toujours elle-même une fonction — on le vérifie avec le test de la droite horizontale sur le graphique original : si une droite horizontale touche la courbe en plus d’un point, sa réciproque échouera le test de la droite verticale et ne sera donc pas une fonction.

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Quels sont les deux nouveaux types de fonctions vus au secondaire 3 ?

La fonction polynomiale de degré 0 ou 1 (une constante ou une droite) et la fonction de variation inverse (une hyperbole, f(x) = k/x). Voici comment les distinguer :

La fonction de variation inverse mérite une attention particulière : contrairement aux fonctions polynomiales, son graphique n’est pas une droite mais une hyperbole formée de deux courbes séparées, qui se rapprochent des axes sans jamais les toucher. Son domaine exclut toujours x = 0, puisque diviser par zéro est impossible.

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Comment ce chapitre s’inscrit-il dans le programme de mathématiques secondaire 3 ?

Les fonctions et leurs réciproques font partie du bloc Algèbre du programme de mathématiques secondaire 3, directement lié aux systèmes d’équations — un système de deux équations linéaires, c’est en fait deux fonctions dont on cherche le point d’intersection. Cette base en fonctions prépare directement la fonction quadratique du secondaire 4, qui reprend les mêmes concepts de domaine, d’image et de réciproque à un niveau plus avancé.

Des élèves de Rosemont, de Verdun et d’Ahuntsic trouvent souvent ce chapitre abstrait au premier abord — les graphiques concrets font généralement toute la différence.

❓ Questions fréquentes

Conclusion

Une fonction associe à chaque x exactement un y, et sa réciproque inverse ces rôles — un reflet par rapport à la droite y = x. Le secondaire 3 ajoute deux nouveaux types de fonctions : la polynomiale de degré 0 ou 1, et la fonction de variation inverse. Un tutorat en mathématiques secondaire 3 aide à bien distinguer ces deux nouveaux types de fonctions.

À retenir :

• ✅ Une fonction : chaque x correspond à un seul y (test de la droite verticale)
• ✅ La réciproque : inverser x et y, reflet par rapport à y = x
• ✅ f(x) = b (degré 0) et f(x) = ax + b (degré 1) sont des droites
• ✅ f(x) = k/x (variation inverse) est une hyperbole, domaine sans x = 0

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