Les systèmes d’équations secondaire 3 : les trois méthodes
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Appelez : +1-514-588-7682En bref : les systèmes d’équations
- Un système d’équations regroupe deux équations à deux inconnues (x et y) dont on cherche la solution commune
- Trois méthodes permettent de le résoudre : comparaison, substitution et réduction — le choix dépend de la forme des équations
- Graphiquement, la solution est le point d’intersection des deux droites
- Deux droites parallèles n’ont aucune solution commune ; deux droites identiques en ont une infinité
Un système d’équations secondaire 3 se résout avec l’une des trois méthodes — comparaison, substitution ou réduction — selon la forme des deux équations, et sa solution correspond toujours au point où les deux droites se croisent sur un graphique. Ce guide explique les trois méthodes avec un exemple résolu pour chacune, et ce que signifie une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions.
Systèmes d’équations secondaire 3 : la méthode de comparaison
La méthode de comparaison isole la même variable dans les deux équations, puis pose les deux expressions égales entre elles — puisqu’elles valent toutes les deux cette variable. Elle fonctionne le mieux quand les deux équations sont déjà (ou facilement) isolées pour y.
Exemple : y = 2x + 1 et y = -x + 7.
Puisque les deux valent y, on pose : 2x + 1 = -x + 7 → 3x = 6 → x = 2.
On remplace x = 2 dans la première équation : y = 2(2) + 1 = 5.
Solution : (2, 5).
Comment résoudre un système par la méthode de substitution ?
La méthode de substitution isole une seule variable dans une seule équation, puis remplace cette expression directement dans l’autre équation. Elle fonctionne bien dès qu’une des deux équations s’isole facilement, même si l’autre ne l’est pas déjà.
Exemple : x + y = 10 et 3x – y = 2.
On isole y dans la première équation : y = 10 – x.
On remplace dans la deuxième : 3x – (10 – x) = 2 → 4x – 10 = 2 → x = 3.
On remplace x = 3 dans y = 10 – x : y = 7.
Solution : (3, 7).
Comment résoudre un système par la méthode de réduction ?
La méthode de réduction (aussi appelée élimination) multiplie une ou les deux équations pour que les coefficients d’une variable deviennent identiques ou opposés, puis additionne ou soustrait les deux équations pour éliminer cette variable. Elle fonctionne particulièrement bien quand les coefficients s’alignent facilement.
Exemple : 2x + 3y = 16 et 2x – y = 4.
Les coefficients de x sont déjà identiques (2 et 2). On soustrait les deux équations : (3y) – (-y) = 16 – 4 → 4y = 12 → y = 3.
On remplace y = 3 dans 2x – y = 4 : 2x – 3 = 4 → x = 3,5.
Solution : (3,5 ; 3).
Le point d’intersection des deux droites est l’unique solution (x, y) du système.
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Que signifie l’absence de solution ou une infinité de solutions ?
Deux droites parallèles (même pente, ordonnées à l’origine différentes) n’ont aucun point commun : le système n’a aucune solution. Deux équations qui représentent en réalité la même droite (même pente, même ordonnée à l’origine) se croisent partout : le système a une infinité de solutions. Algébriquement, ces deux cas se reconnaissent quand la méthode utilisée fait disparaître complètement les deux variables : une affirmation fausse (ex. 0 = 5) signale aucune solution, une affirmation toujours vraie (ex. 0 = 0) signale une infinité de solutions.
| Situation graphique | Nombre de solutions | Signal algébrique |
|---|---|---|
| Droites sécantes (pentes différentes) | Une seule solution | Une valeur unique pour x et pour y |
| Droites parallèles distinctes | Aucune solution | Affirmation fausse (ex. 0 = 5) |
| Droites confondues (même droite) | Infinité de solutions | Affirmation toujours vraie (ex. 0 = 0) |
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Comment ce chapitre s’inscrit-il dans le programme de mathématiques secondaire 3 ?
Les systèmes d’équations font partie du bloc Algèbre du programme de mathématiques secondaire 3, aux côtés des fonctions et de leurs réciproques — les deux notions se rejoignent d’ailleurs directement : un système de deux équations linéaires, c’est deux fonctions dont on cherche le point d’intersection. La solidité de cette base algébrique prépare aussi la factorisation en secondaire 4, où les systèmes reviennent sous une forme plus complexe (équations du second degré).
⚠️ Cette notion revient tout au long du secondaire
Une base solide en systèmes d’équations facilite directement plusieurs notions futures : le théorème de Pythagore et les relations métriques exigent souvent de résoudre plusieurs équations en parallèle, tout comme certaines situations en statistique.
Des élèves de Rosemont, de Verdun et d’Ahuntsic nous consultent souvent pour ce chapitre précis avant un examen — la bonne méthode change tout une fois qu’elle est bien comprise.
❓ Questions fréquentes
Q1 : Quelle méthode utiliser pour résoudre un système d’équations ?
R : Cela dépend de la forme des équations : la comparaison convient quand les deux équations sont déjà isolées pour la même variable, la substitution quand une seule l’est facilement, et la réduction quand les coefficients d’une variable s’alignent facilement.
Q2 : Comment fonctionne la méthode de comparaison ?
R : On isole la même variable dans les deux équations, puis on pose les deux expressions égales entre elles, puisqu’elles valent toutes les deux cette variable.
Q3 : Comment fonctionne la méthode de substitution ?
R : On isole une seule variable dans une seule équation, puis on remplace cette expression directement dans l’autre équation.
Q4 : Comment fonctionne la méthode de réduction ?
R : On multiplie une ou les deux équations pour aligner les coefficients d’une variable, puis on additionne ou soustrait les deux équations pour l’éliminer.
Q5 : Que signifie un système sans solution ou avec une infinité de solutions ?
R : Des droites parallèles distinctes donnent aucune solution (une affirmation fausse apparaît en résolvant). Des droites confondues donnent une infinité de solutions (une affirmation toujours vraie apparaît).
Q6 : Un tuteur en ligne peut-il aider avec les systèmes d’équations ?
R : Oui, un tuteur en mathématiques peut expliquer chaque méthode avec des exemples résolus pas à pas, adaptés au rythme de l’élève.
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Conclusion
Les systèmes d’équations se résolvent avec l’une des trois méthodes — comparaison, substitution ou réduction — choisie selon la forme des équations, et leur solution correspond toujours au point d’intersection des deux droites sur un graphique. Un tutorat en mathématiques secondaire 3 aide à choisir la bonne méthode rapidement, sans hésitation à l’examen.
À retenir :
- ✅ Comparaison : isoler la même variable dans les deux équations, puis les poser égales
- ✅ Substitution : isoler une variable dans une équation, la remplacer dans l’autre
- ✅ Réduction : aligner les coefficients d’une variable, puis additionner ou soustraire
- ✅ Le point d’intersection des deux droites est la solution du système
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