Chemin critique secondaire 5 : la théorie des graphes en mathématiques CST

Le chemin critique secondaire 5 est le chemin le plus long — pas le plus court — entre le sommet de départ et le sommet d’arrivée d’un graphe pondéré représentant un ensemble de tâches, et il fixe la durée minimale nécessaire pour compléter l’ensemble du projet. Ce guide explique comment construire un graphe à partir d’un problème concret, y trouver le chemin critique et l’arbre de valeur minimale, puis calculer le nombre chromatique.

Qu’est-ce qu’un graphe pondéré, concrètement ?

Un graphe est un ensemble de sommets (les éléments) reliés par des arêtes (les liens entre eux). Quand chaque arête porte un nombre — une durée, une distance, un coût — le graphe est dit pondéré. Une suite d’arêtes reliant deux sommets sans repasser par le même sommet est une chaîne ; si elle revient à son point de départ, c’est un cycle. Ces deux notions sont la base de tout ce qui suit : le chemin critique et l’arbre de valeur minimale ne sont, au fond, que des chaînes particulières dans un graphe pondéré.

Comment trouver le chemin critique secondaire 5 dans un graphe pondéré ?

Le chemin critique secondaire 5 se trouve en listant tous les chemins possibles du sommet de départ au sommet d’arrivée, puis en additionnant les poids de chacun : le chemin dont la somme est la plus grande est le chemin critique, et cette somme est la durée minimale du projet au complet — même si les autres tâches sont terminées plus tôt, le projet ne peut pas finir avant que le chemin critique soit complété.

Ici, même si le chemin A → B → D → E ne prend que 6 jours, le projet complet prend quand même 8 jours, parce que la tâche C (5 jours) doit être terminée avant D, peu importe que B soit déjà fini depuis longtemps. C’est exactement ce que signifie « critique » : ralentir n’importe quelle tâche sur ce chemin retarde tout le projet.

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Que sont l’arbre de valeur minimale et le nombre chromatique ?

L’arbre de valeur minimale (ou arbre de poids minimal) relie tous les sommets d’un graphe pondéré avec la plus petite somme de poids possible, sans jamais former de cycle — utile par exemple pour relier plusieurs villes par le réseau de routes le moins coûteux possible, sans construire de route inutile. C’est l’inverse du chemin critique : on cherche ici le total le plus bas, pas le plus haut, et on relie tous les sommets, pas seulement le début et la fin.

Le nombre chromatique est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorer tous les sommets d’un graphe de façon à ce que deux sommets reliés par une arête n’aient jamais la même couleur. Exemple concret : un horaire d’examens où chaque cours est un sommet, et où une arête relie deux cours si des élèves les suivent tous les deux (ils ne peuvent donc pas être à la même case horaire). Pour quatre cours formant un cycle A-B-C-D-A avec en plus une arête A-C, il est impossible de s’en tirer avec seulement 2 couleurs — il en faut 3, ce qui signifie qu’il faut au minimum 3 plages horaires distinctes pour éviter tout conflit.

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Les graphes sont-ils au programme de tous les élèves de secondaire 5 ?

Non — la théorie des graphes, tout comme les probabilités avancées et les mathématiques financières, fait partie du programme CST (Culture, Société et Technique) de secondaire 5, pas du programme SN (Sciences Naturelles). Les élèves en SN étudient plutôt les coniques, les fonctions exponentielles et logarithmiques, et la trigonométrie avancée. Notre article sur la loi des cosinus et les solides équivalents couvre un autre bloc du programme CST — vérifiez toujours avec votre école ou votre relevé de notes quel programme (SN, TS ou CST) s’applique exactement à vous, puisque le contenu détaillé peut varier légèrement d’un manuel à l’autre.

Pour une vue d’ensemble du reste du programme de mathématiques secondaire 5 (SN et CST), notre page tutorat mathématiques secondaire 5 détaille l’accompagnement offert en ligne.

Des élèves de Montréal, de Rosemont et de Verdun révisent chaque année ce chapitre en ligne avec nos tuteurs, souvent en combinaison avec le bloc mathématiques financières du même programme.

❓ Questions fréquentes

Conclusion

Le chemin critique secondaire 5 n’est pas le chemin le plus court, mais le plus long — c’est ce qui en fait la notion la plus contre-intuitive du chapitre sur les graphes. Une fois cette idée comprise, le reste (arbre de valeur minimale, nombre chromatique) suit la même logique : représenter un problème concret par des sommets et des arêtes, puis appliquer la bonne règle selon ce qu’on cherche à minimiser ou maximiser.

À retenir :

• ✅ Le chemin critique = le chemin le plus long entre le début et la fin, pas le plus court
• ✅ L’arbre de valeur minimale relie tous les sommets avec la somme de poids la plus basse, sans cycle
• ✅ Le nombre chromatique se trouve par essai, en augmentant le nombre de couleurs jusqu’à éliminer tout conflit
• ✅ Ce chapitre appartient au programme CST — vérifiez votre programme exact avec votre école

Besoin d’aide avec les graphes ou un autre chapitre de mathématiques CST de secondaire 5 ? Nos tuteurs en ligne accompagnent des élèves de Montréal, de Rosemont, de Verdun, d’Ahuntsic et de partout dans la grande région métropolitaine.