La loi des cosinus secondaire 5 : triangles et solides équivalents

La loi des cosinus secondaire 5 permet de trouver un côté ou un angle manquant dans un triangle qui n’a pas d’angle droit, une situation où le SOH-CAH-TOA appris plus tôt ne fonctionne tout simplement pas. Ce guide explique quand l’utiliser, comment l’appliquer sur un exemple complet, puis comment distinguer les solides équivalents des solides de même aire.

Pourquoi le SOH-CAH-TOA ne suffit-il plus en secondaire 5 ?

Le SOH-CAH-TOA et le théorème de Pythagore fonctionnent seulement dans un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle avec un angle de 90°. Beaucoup de problèmes de secondaire 5 — un terrain triangulaire, la trajectoire d’un bateau qui change de cap, la position de trois points sur une carte — donnent des triangles quelconques, sans angle droit. Pour ces cas, il faut deux nouveaux outils : la loi des sinus et la loi des cosinus. La loi des cosinus s’utilise précisément quand on connaît deux côtés et l’angle compris entre eux (cas CAC), ou les trois côtés (cas CCC) et qu’on cherche un angle.

Comment appliquer la loi des cosinus secondaire 5 étape par étape ?

Un triangle avec deux côtés a = 7 cm et b = 9 cm, et un angle C = 60° compris entre eux, se résout directement avec la formule c² = a² + b² − 2ab·cos(C) pour trouver le troisième côté.

La même formule, réarrangée, permet aussi de trouver un angle quand on connaît les trois côtés : cos(C) = (a² + b² − c²) ÷ (2ab). C’est exactement le même calcul, mais isolé pour l’angle plutôt que pour le côté.

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Quelle est la différence entre solides équivalents et solides de même aire ?

Ces deux expressions se ressemblent mais mesurent des choses différentes : équivalent compare toujours le volume (l’espace occupé à l’intérieur), alors que même aire compare la surface totale (la quantité de matériau nécessaire pour recouvrir le solide). Deux solides peuvent avoir le même volume sans avoir la même surface, et inversement.

Dans l’exemple des solides équivalents ci-dessus, le prisme a un volume de 4 × 5 × 6 = 120 cm³. Pour qu’un cylindre de rayon 3 cm ait le même volume, il faut résoudre π × 3² × h = 120, donc h = 120 ÷ (9π) ≈ 4,24 cm — deux formes complètement différentes, mais le même volume.

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Ce chapitre est-il seulement pour le programme SN ?

Non — la loi des cosinus et les solides équivalents apparaissent dans le bloc géométrie du programme CST (Culture, Société et Technique), au même titre que le bloc théorie des graphes et chemin critique couvert dans notre autre guide. Le programme SN aborde la trigonométrie sous un angle différent, avec les fonctions trigonométriques et le cercle trigonométrique. Vérifiez toujours avec votre école ou votre relevé de notes quel programme exact (SN, TS ou CST) s’applique à vous.

Pour une vue d’ensemble du reste du programme de mathématiques secondaire 5 (SN et CST), notre page tutorat mathématiques secondaire 5 détaille l’accompagnement offert en ligne.

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❓ Questions fréquentes

Conclusion

La loi des cosinus secondaire 5 n’est qu’une extension logique de ce qui est déjà connu : dès qu’un triangle n’a pas d’angle droit, une nouvelle formule prend le relais, mais la méthode (remplacer, calculer, isoler) reste la même. Les solides équivalents et les solides de même aire demandent surtout de bien distinguer volume et surface avant de choisir la bonne formule.

À retenir :

• ✅ La loi des cosinus s’utilise pour un triangle sans angle droit, avec deux côtés et l’angle compris, ou les trois côtés
• ✅ La formule : c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
• ✅ Équivalent = même volume ; même aire = même surface totale — deux mesures différentes
• ✅ Ce chapitre appartient au programme CST — vérifiez votre programme exact avec votre école

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