Optimisation programmation linéaire secondaire 5 (SN et CST)

L’optimisation programmation linéaire secondaire 5 consiste à représenter un système d’inéquations dans un plan cartésien pour obtenir un polygone de contraintes, puis à trouver la solution optimale en évaluant la fonction à optimiser à chacun des sommets de ce polygone — jamais ailleurs. Ce guide explique la méthode complète avec un problème résolu, un chapitre identique dans les programmes SN et CST.

Comment représenter un système d’inéquations dans un plan cartésien ?

Chaque inéquation du système délimite un demi-plan : on trace d’abord la droite frontière comme si c’était une égalité, puis on détermine de quel côté se trouve la solution en testant un point (souvent l’origine (0, 0), si elle n’est pas sur la droite). Le polygone de contraintes est la région où tous les demi-plans se superposent — la seule zone qui respecte toutes les inéquations du système à la fois.

Comment résoudre un problème d’optimisation programmation linéaire secondaire 5 ?

Une entreprise qui fabrique deux produits, X et Y, résout ce type de problème en évaluant le profit à chaque sommet du polygone de contraintes : chaque unité de X rapporte 30 $ de profit et chaque unité de Y rapporte 40 $, sous les contraintes x + 2y ≤ 20 (temps de production) et 3x + y ≤ 30 (matière première), avec x ≥ 0 et y ≥ 0. Combien d’unités de chaque produit faut-il fabriquer pour maximiser le profit Z = 30x + 40y ?

Le sommet (8, 6) s’obtient en résolvant le système formé par les deux droites frontières x + 2y = 20 et 3x + y = 30 ensemble. Le profit maximal, 480 $, est atteint en fabriquant 8 unités de X et 6 unités de Y — pas en fabriquant seulement le produit le plus rentable à l’unité.

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Comment trouver les coordonnées d’un sommet formé par deux droites ?

Un sommet situé à l’intersection de deux droites frontières s’obtient en résolvant leurs deux équations comme un système : par substitution ou par comparaison. Pour le sommet (8, 6) de l’exemple ci-dessus, on isole y dans 3x + y = 30 pour obtenir y = 30 – 3x, puis on substitue dans x + 2y = 20 : x + 2(30 – 3x) = 20, ce qui donne x + 60 – 6x = 20, donc -5x = -40, donc x = 8, puis y = 30 – 3(8) = 6. Cette méthode de résolution de système, déjà vue plus tôt dans le programme, revient constamment dans les problèmes d’optimisation.

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Pourquoi ne pas simplement tester le produit le plus rentable à l’unité ?

C’est l’erreur la plus fréquente : dans l’exemple ci-dessus, le produit Y rapporte plus par unité (40 $ contre 30 $), mais fabriquer seulement du Y — au sommet (0, 10) — donne un profit de 400 $, inférieur aux 480 $ obtenus en combinant les deux produits au sommet (8, 6). Les contraintes limitent la quantité de chaque produit qu’on peut réellement fabriquer ensemble, donc le meilleur profit par unité ne garantit jamais, à lui seul, le meilleur profit total.

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❓ Questions fréquentes

Conclusion

L’optimisation par la programmation linéaire suit toujours la même méthode : représenter le système d’inéquations, identifier le polygone de contraintes et ses sommets, puis évaluer la fonction à optimiser à chacun d’eux. Le sommet qui donne la meilleure valeur est toujours la solution — jamais un point à l’intérieur de la région.

À retenir :

• ✅ Ce chapitre est identique en SN et en CST
• ✅ Le polygone de contraintes est la superposition de tous les demi-plans du système
• ✅ La solution optimale se trouve toujours à un sommet, jamais à l’intérieur
• ✅ Résolvez chaque sommet formé par deux droites comme un système d’équations

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